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소인수분해 쉽게 끝내는 법

오늘의 건강꿀팁 2025. 5. 9.

안녕하세요! 오늘은 수학의 기초를 다지는 아주 중요한 개념, '소인수분해 하는법'에 대해 알아보겠습니다. 소인수분해는 단순히 숫자를 쪼개는 것을 넘어, 수의 성질을 파악하고 약수나 최대공약수, 최소공배수를 구하는 데 핵심적인 역할을 하는데요. 처음 들으면 어렵게 느껴질 수 있지만, 차근차근 따라오시면 누구나 쉽게 이해하고 활용할 수 있습니다.

이 글에서는 소인수분해가 무엇인지 그 뜻부터 시작해서, 실제로 '소인수분해 하는법'에는 어떤 방법들이 있는지, 그리고 왜 소인수분해가 중요한지까지 모두 알려드릴 거예요.

초등학생부터 중학생, 혹은 수학을 다시 공부하고 싶은 분들까지, 소인수분해를 완벽하게 마스터할 수 있도록 쉽고 자세하게 설명해 드릴 테니 집중해서 읽어보세요!

소인수분해란 무엇일까요?

소인수분해를 이해하기 위해서는 먼저 '소수'와 '인수', 그리고 '소인수'의 개념을 알아야 합니다.

소수 (Prime Number): 1보다 큰 자연수 중에서 1과 자기 자신만을 약수로 가지는 수를 말합니다. 예를 들어 2, 3, 5, 7, 11 등이 소수입니다.

1은 소수도 합성수도 아닙니다.
인수 (Factor): 어떤 자연수를 두 자연수의 곱으로 나타낼 때, 그 각각의 자연수를 원래 자연수의 인수라고 합니다. 약수와 비슷한 개념이지만, 주로 식을 다룰 때도 사용됩니다. 예를 들어, 10 = 2 × 5 이므로 2와 5는 10의 인수입니다. 10 = 1 × 10 이므로 1과 10도 10의 인수입니다.
소인수 (Prime Factor): 어떤 자연수의 인수 중에서 소수인 것을 소인수라고 합니다. 10의 인수는 1, 2, 5, 10 이고, 이 중에서 소수는 2와 5이므로 10의 소인수는 2와 5입니다.

자, 그럼 소인수분해의 뜻을 정리해 볼까요? 소인수분해란 **어떤 자연수를 소인수들만의 곱으로 나타내는 것**을 의미합니다. 즉, 주어진 자연수를 더 이상 나눌 수 없는 소수들로만 분해하는 과정이죠.

소인수분해 왜 중요할까요?

소인수분해는 다양한 수학적 문제를 해결하는 데 유용하게 사용됩니다. 특히 다음과 같은 경우에 필수적입니다.

어떤 자연수의 모든 약수를 쉽게 구할 수 있습니다.
어떤 자연수의 약수의 개수를 정확하게 계산할 수 있습니다.
두 개 이상의 자연수의 최대공약수(GCD)와 최소공배수(LCM)를 효율적으로 구할 수 있습니다.

소인수분해를 통해 수의 기본적인 구성 요소를 파악함으로써, 약수나 공약수, 공배수 등의 관계를 명확하게 이해할 수 있기 때문입니다. 수학 문제 풀이는 물론, 실생활에서도 유용하게 응용될 수 있는 기초 개념입니다.

소인수분해 하는법: 단계별 방법

소인수분해 하는법은 몇 가지 방법이 있지만, 원리는 모두 같습니다.

주어진 수를 소인수로 나누어 나가는 과정이죠. 가장 일반적으로 사용되는 두 가지 방법을 소개해 드립니다.

방법 1: 나누어 떨어지는 가장 작은 소수로 반복해서 나누기 (세로셈 방법)

이 방법은 초등학생 때 배웠던 나눗셈을 거꾸로 하는 것과 유사합니다. 나누어 떨어지는 **가장 작은 소수**부터 차례로 나누는 것이 핵심입니다.

소인수분해 할 자연수를 준비합니다.
그 자연수를 나누어 떨어지게 하는 가장 작은 소수(보통 2부터 시작)로 나눕니다.
나눗셈의 몫이 나오면, 그 몫을 다시 나누어 떨어지게 하는 가장 작은 소수로 나눕니다.
이 과정을 몫이 1이 될 때까지 반복합니다.
나눗셈에 사용된 소수들을 모두 곱한 형태로 나타내면 소인수분해가 완료됩니다.

이때, 같은 소수가 여러 번 곱해진다면 거듭제곱으로 표현하는 것이 일반적입니다.

이 방법은 체계적이기 때문에 실수를 줄일 수 있습니다.

방법 2: 가지치기 (곱셈 방법 또는 인수분해 트리)

이 방법은 주어진 자연수를 임의의 두 인수의 곱으로 표현한 뒤, 각 인수를 계속해서 소수가 될 때까지 쪼개나가는 방식입니다.

소인수분해 할 자연수를 임의의 두 인수의 곱으로 나타냅니다 (예: 60 = 6 × 10).
곱으로 나타낸 인수 중에 합성수가 있다면, 그 합성수를 다시 두 인수의 곱으로 나타냅니다 (예: 6 = 2 × 3, 10 = 2 × 5).
이 과정을 더 이상 쪼갤 수 없는 소수만 남을 때까지 반복합니다. 마치 나무 가지처럼 뻗어 나가는 모습이라 '**인수분해 트리**'라고도 불립니다.
가장 마지막에 얻어진 소수들을 모두 곱한 형태로 나타냅니다. 같은 소수는 거듭제곱으로 표현합니다.

어떤 방법을 사용하든 결과는 항상 같습니다. 익숙한 방법이나 문제에 따라 편리한 방법을 선택하면 됩니다.

예시로 배우는 소인수분해

예시 1: 60 소인수분해하기 (세로셈 방법)

60을 세로셈 방법으로 소인수분해 해봅시다.

2 | 60
--|----
2 | 30
--|----
3 | 15
--|----
5 |  5
--|----
  |  1

나눗셈에 사용된 소수는 왼쪽의 2, 2, 3, 5 입니다. 따라서 60을 소인수분해 하면 2 × 2 × 3 × 5 가 됩니다. 거듭제곱을 사용하여 깔끔하게 나타내면 **60 = 2 ²× 3 × 5** 입니다.

예시 2: 90 소인수분해하기 (가지치기 방법)

90을 가지치기 방법으로 소인수분해 해봅시다.

/ \

9 10

/ \ / \

3 3 2 5

가지 끝에 남은 소수들은 3, 3, 2, 5 입니다. 따라서 90을 소인수분해 하면 3 × 3 × 2 × 5 가 됩니다.

보통 작은 소수부터 쓰므로 2 × 3 × 3 × 5 이고, 거듭제곱을 사용하면 90 = 2 × 3 ²× 5 입니다.

소인수분해 할 때 유의사항 및 팁

**반드시 소수로만 나누세요**: 나누는 수는 2, 3, 5, 7, 11...과 같은 소수만 사용해야 합니다.

4나 6과 같은 합성수로 나누면 제대로 된 소인수분해가 아닙니다.
작은 소수부터 차례로: 계산 실수를 줄이고 효율적으로 소인수를 찾기 위해 가장 작은 소수부터 차례로 나누는 연습을 하세요. 2로 더 이상 나누어지지 않으면 3, 3으로 안 되면 5... 순서로 진행합니다.
몫이 1이 될 때까지: 나눗셈은 몫이 1이 될 때까지 모든 소인수가 나올 때까지 계속해야 합니다.
거듭제곱 사용: 같은 소인수가 여러 번 나올 때는 거듭제곱으로 표현하여 식을 간결하게 만드세요.
결과를 곱해서 확인: 소인수분해 결과를 얻었다면, 소인수들을 모두 곱해보는 것으로 원래 자연수가 나오는지 확인해 볼 수 있습니다. 소인수들을 모두 곱해보는 것은 소인수분해 과정의 오류를 검토하는 좋은 방법입니다.

소인수분해, 어디에 활용될까요?

소인수분해는 수학에서 매우 강력한 도구입니다.

앞서 언급했듯이, 특히 약수, 최대공약수, 최소공배수를 구할 때 그 진가가 발휘됩니다.

개념	소인수분해 활용 방법
약수	소인수분해 결과로 나온 소인수들을 다양한 방법으로 곱하여 모든 약수를 찾을 수 있습니다.
약수의 개수	소인수분해 결과에서 각 소인수의 지수에 1을 더한 후, 이 값들을 모두 곱하면 약수의 개수를 쉽게 알 수 있으며 정확합니다. (예: 60 = 2² × 3¹ × 5¹ -> 약수의 개수 = (2+1) × (1+1) × (1+1) = 3 × 2 × 2 = 12개)
최대공약수 (GCD)	두 수의 소인수분해 결과를 비교하여, 공통된 소인수들만 선택하고 그 소인수의 지수 중 더 작은 지수를 곱하면 됩니다.
최소공배수 (LCM)	두 수의 소인수분해 결과를 비교하여, 공통된 소인수는 지수 중 더 큰 지수를 선택하고, 공통되지 않은 소인수도 모두 곱해주면 됩니다.

보시다시피 소인수분해를 할 줄 알면 약수나 공약수/공배수 관련 문제를 훨씬 체계적이고 빠르게 풀 수 있습니다. 중학교 과정에서 이 개념을 배우는 이유가 바로 여기에 있습니다.

FAQ (자주 묻는 질문)

1. 1은 소수인가요?

아닙니다. 소수는 1보다 큰 자연수 중에서 1과 자기 자신만을 약수로 가지는 수입니다. 1은 약수가 1 하나뿐이므로 소수의 정의에 해당하지 않습니다.

소인수분해 할 때도 1은 사용되지 않습니다.

2. 합성수도 소인수가 될 수 있나요?

아닙니다. 소인수는 '소수'이면서 '인수'인 수입니다.

따라서 합성수는 소인수가 될 수 없습니다. 소인수분해의 결과는 오직 소수들만의 곱으로 표현되어야 합니다.

3. 어떤 자연수를 소인수분해하면 결과는 항상 똑같나요?

네, 그렇습니다.

어떤 자연수든 소인수분해하면 그 결과는 사용하는 소인수와 각 소인수의 지수가 항상 유일하게 결정됩니다. 이를 '소인수분해의 유일성'이라고 합니다.

결론

'소인수분해 하는법'은 수학의 여러 분야에서 활용되는 기본적인 연산 능력입니다. 자연수를 그 구성 요소인 소수들로 분해하는 과정은 복잡한 문제의 실마리를 찾는 데 도움을 줍니다.

소인수분해를 통해 약수, 약수의 개수, 최대공약수, 최소공배수 등을 훨씬 쉽게 구할 수 있으며, 이는 중고등학교 수학의 중요한 밑거름이 됩니다.

처음에는 조금 낯설게 느껴질 수 있지만, 꾸준히 연습하다 보면 자연스럽게 익힐 수 있습니다. 제시된 방법들을 참고하여 여러 숫자를 직접 소인수분해 해보세요. 수학 실력 향상의 중요한 첫걸음이 될 것입니다. 지금 바로 눈앞의 작은 수부터 소인수분해 해보세요!